2주차 과제

고유값 (eigenvalue)

정의	행렬 $A$ 에 대해, $A x = λ x$ 를 만족하는 스칼라 값 λ를 고유값이라 한다.
대칭 행렬의 특징	- 대칭 행렬의 고유값은 항상 실수 이다. - 복소수 고유값이 존재하지 않는다.
고유값을 이용한 대각화	- 고유값을 이용하면 행렬을 대각행렬로 변환 가능하다. - $A$ 가 대각화 가능하면, $A = P D P^{- 1}$ 형태로 표현된다.
행렬의 성질과 고유값 관계	- 행렬 $A$ 의 행렬식과 고유값은 관계가 있다( $d e t (A - λ I) = 0$ ) - 대칭 행렬 $A$ 가 양의 정부호 이려면, 모든 고유값이 양수이어야 한다.

정의	행렬 $A$ 와 고유값 $λ$ 에 대해, $A x = λ x$ 를 만족하는 벡터 $x$ 를 고유벡터라 한다.
대칭 행렬의 특징	- 대칭 행렬의 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터는 항상 직교 한다. - 즉, $λ_{1} \neq = λ_{2}$ 라면, $v_{1} \cdot v_{2} = 0$ 이다.
직교 행렬과의 관계	- 대칭 행렬의 고유벡터들로 이루어진 행렬은 직교행렬이 될 수 있다. - 직교 행렬 $Q$ 는 $Q^{T} Q = I$ 를 만족한다
고유벡터의 정규화	- 고유벡터를 단위 벡터로 변환(정규화)하면 정규직교기저 가 된다.

정의	행렬 $A$ 를 고유값과 고유벡터를 이용해 분해하는 것. 대칭 행렬은 항상 고유분해가 가능.
고유분해의 수식	$A = Q Λ Q^{T}$ - Q : 고유벡터들로 이루어진 직교 행렬 - A : 고유값을 대각원소로 갖는 대각행렬
고유분해의 특징	- 대칭 행렬은 반드시 고유분해 가능 (즉, 항상 대각화 가능) - $Q^{T} = Q^{-} 1$ 을 만족하는 직교 행렬을 사용하면 계산이 단순해짐.